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By Dirk Ferus

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Also ist M die kleinste obere Schranke. Die Existenz der Folge (an ) zeigt man ebenso. Zu (ii). Klar. Satz 94 (Intervalle). h. f¨ ur alle x1 , x2 , x3 ∈ R folgt aus x1 < x2 < x3 und x1 , x3 ∈ I, dass auch x2 ∈ I. Seien a = inf I ∈ R ∪ {−∞}, b = sup I ∈ R ∪ {+∞}. Dann ist I eine der folgenden Mengen [a, b], [a, b[, ]a, b], ]a, b[, wobei die nicht definierten F¨ alle [a, +∞] etc. ausgenommen sind. Beweis. Wir betrachten zun¨ achst den Fall, dass a und b reelle Zahlen sind. Offenbar ist I ⊂ [a, b].

Gibt es einen Koeffizienten ck = 0, so gibt es einen h¨ochsten Koeffizienten = 0 und wir k¨onnen annehmen, dass cn = 0. F¨ ur |z| ≥ 1 und 0 ≤ k ≤ n − 1 ist |z|k ≤ |z|n−1 und daher nach der Dreiecksungleichung n−1 n−1 k=0 n−1 ck z k ≤ ck z k ≤ |ck | |z|n−1 =: C|z|n−1 . k=0 k=0 Nach Korollar 9 ist daher f¨ ur |z| ≥ 1 |h(z)| ≥ |cn ||z|n − C|z|n−1 = |z|n−1 (|cn ||z| − C). (12) Ist cn = 0, so ist die rechte Seite f¨ ur |z| > max(1, |cCn | ) positiv. Insbesondere ist also |h(x)| ≥ xn−1 (|cn |x − C) > 0 f¨ ur reelles x > max(1, |cCn | ) im Widerspruch zur Voraussetzung.

Also ist a = 0. Weil xn ≥ 0 f¨ ur alle n ist a = lim xn ≥ 0, also a > 0. Weil (xn+1 ) dieselbe Folge ist wie (xn ) mit einer um eins verschobenen Numerierung, ist auch xn+1 → a. Schließlich folgt aus der Rekursionsgleichung 1 b a = a 1 + ( k − 1) k a und daraus ak = b. h. es sei n ∈ / N. Dann ist n ∈ / Q, also irrational. Weil die Axiome der reellen Zahlen ohne das Vollst¨ andigkeitsaxiom auch f¨ ur Q gelten, kann man daraus allein also nicht die Konvergenz der obigen Quadratwurzelfolge“ beweisen.

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Analysis I [Lecture notes] by Dirk Ferus

by George

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